波粒二象性|奇迹百科

波粒二象性

在1900年前后物理学家已经建立起来由经典力学，经典电磁学和经典统计力学组成的经典物理学体系，有很多物理学家乐观地认为将来的工作仅仅是再往小数点后面再加几位。但一系列新现象却最终颠覆了经典物理学，今天我们说科学的基础，一般指的是相对论和量子力学。

根据一般的观点，量子力学诞生于原子物理学，即关于原子尺寸物理现象的研究。今天我们知道原子大约是0.1纳米，而人类肉眼可分辨（假设可借助光学显微镜）的尺寸大约是可见光波长的数量级--几百纳米，即我们研究的对象小了至少几万倍。从这个意义上说量子现象是超越于我们日常经验之外的。当我们提到粒子和波动的时候，即便没有系统地学习过物理学，我们也可借助日常经验知道粒子大致指的是什么现象，波动指的是什么现象。但当我们提到原子或电子的运动时，我们就没有这样的直观了。

1.双缝实验

所以必须得有一个机会供我们直观地体验一下量子现象。费曼¹曾提出著名的双缝实验，通过这个实验我们可建立量子力学的最基本概念--波粒二象性。

首先在光学中也有双缝实验，即当光通过双缝后，会呈现明暗相间的条纹状分布，这个称为干涉。干涉现象可以很容易地用波动图像解释。光是电磁波，当波照射到双缝上时，每个缝相当于是新的波源，每个波源都会发出一系列波峰和波谷，当两个波峰相遇时则加强呈现出明亮的条纹，当一个波峰和一个波谷相遇时则抵消呈现出暗条纹。
经典波动
现在我们假设以一束电子入射到双缝上，看看会发生什么现象。电子是量子力学对象，但现在我们先猜测它就是经典的粒子，这种情形下电子穿过双缝--呈上、下两个条状分布。
粒子图像
那么实验的结果是什么呢？是明、暗相间的条纹状分布，就好像是光学中的双缝实验结果一样。这是否意味着电子是一种波动呢？就好像迄今为止我们都理所当然地认为光就是一种波动。

我们可以再做一个实验，让电子一个、一个地通过双缝，看看是否会有干涉现象。实验结果是电子将随机地出现在任意位置，我们根本无法预测电子下一次出现在何位置。但我们也注意到电子并未弥散开来，每次都只出现在一个位置，这说明电子是粒子，具有唯一的位置。另外一个特点是当我们进行很多次这样的单电子双缝干涉实验后，电子的总体分布会趋于明暗相间的干涉条纹。

有趣的是，对于我们一直认为是波动的“光”，我们也可完成类似的实验，即当我们降低光的强度，最终我们发现光竟然也是由一个一个的粒子--“光子”组成的。当光强极弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随机的位置，很多单光子事件累积起来呈现干涉条纹。实际上人眼就是理想的“单光子”探测器，生理实验证明只需要5个光子就可使视杆细胞兴奋²。
波粒二象性
因此，把电子（或光子）简单地设想为经典的粒子或经典的波动都是不可能的，现在我们说电子（或光子）首先是粒子，但它不是经典的，不能用位置和动量描述，而需要用波函数来描述电子的运动状态。这就是所谓波粒二象性，这与日常经验中的粒子是两回事，但物理学家们一般还称呼它们是粒子。

2.波函数

根据量子力学，粒子的运动状态是由波函数来描述的，其实经典的波动也是由波函数来描述的。量子力学中的波函数和经典波动波函数的区别在于：经典波动波函数有确切的物理含义，比如电磁波波函数表示的是变化的电场或磁场；量子力学中波函数不对应确切的物理含义，它一般是复函数，而物理量（如位置、动量）的取值是实数，但物理系统中所有信息却又都包含在波函数中，即根据波函数我们可求出物理量的取值。从数学形式上看波函数很类似经典波动的波函数，因为经典波动为计算方便也常常表示为复函数的形式；而量子力学中波函数在某些特定情况下也可表示为实函数的形式。这给思考量子力学问题带来很多直观上的好处，因为想象一个经典波动总是很容易的。

最简单的波函数是单色平面波：`Ae^{i (k x - \omega t)}`，它所描述粒子的动量是：`p = hbar k`，能量是：`E = hbar \omega`（前者是德布罗意的贡献，后者是普朗克等的贡献）。动量的表达式很有用，稍作变形：`\lambda = h/p`，这个公式代表了波动语言（左边）和粒子语言（右边）的对应关系。

如前所述，波函数本身没有物理意义，但其绝对值的平方代表发现粒子的几率密度，这叫做波函数的统计解释（或玻恩解释）。因此粒子的平均位置：`bar x = int x |psi|^2 dx`。

用波函数的统计解释，可以很容易地理解费曼双缝实验，单电子通过双缝，可用波函数`\psi = \psi_1 + \psi_2`表示，这里的1和2并不是表示1、2两个电子，单电子意味着只有一个电子，`psi_1`和`psi_2`都是这个电子波函数的一部分，1 对应的是上缝，2对应的是下缝。电子的几率分布为：`|psi_1 + psi_2|^2 = |psi_1|^2 + |psi_2|^2 + psi_1^{text(*)}psi_2 + psi_1 psi_2^{text(*)}`，这相当于经典光学中两束光波的迭加，体现为明暗相间的条纹，从数学上说它是由于干涉项`psi_1^{text(*)}psi_2 + psi_1 psi_2^{text(*)}`导致的。

3.测量

我们继续对最简单的波函数：`Ae^{i(k x - \omega t)}`做一些讨论，假设我们设法测量一下粒子的位置x³。

根据统计解释，波函数绝对值平方是粒子的分布几率，由于波函数的振幅是常数，粒子是等几率分布的，因此我们可能在空间中任意地方等几率地观测到粒子。那么对于一次具体的测量，粒子将出现在何位置？我们没法预测，只知道会在空间任何地方，而按照经典的粒子图像，我们总可在一定精度内测出经典粒子的位置。几率本质地出现在量子力学中，这和经典力学决定论式的世界观有本质的区别。

暂不讨论我们是如何测量粒子位置的，假设t=0时我们完成了一次成功的测量，我们会观测到粒子在某确定位置`x=x_0`，现在我们问：在t=0之前的一瞬间粒子在什么地方？关于这个问题有两种答案：

答案1：虽然我们无法精确地知道粒子在什么地方，但我们可推测其一定在`x_0`附近，因为根据狭义相对论，粒子运动速度存在一上限，因此在测量前一瞬间，粒子应在`x_0`附近。那么在测量前一瞬间，波函数还是单色平面波吗？因为我们考虑的是测量前，在此操作前波函数无任何理由发生变化，因此应当仍然是单色平面波。但根据量子力学统计解释，粒子应等几率地分布在整个空间，而不是仅仅分布在`x_0`的附近。看来根据量子力学无法得到关于粒子的全部信息，从这个角度说量子力学是不完备的。因此一定还存在某种未知因素，决定了粒子在`x_0`附近，因为不知道该因素到底是什么，我们就管它叫隐变量（Hidden variable）。这是对量子力学的一种态度，即认为量子力学是不完备的，我们需要发展一种新理论取而代之。持这种观点的物理学家有爱因斯坦、玻姆等。

答案2：这一派物理学家认为基于波函数和统计解释的量子力学是完备的，我们可称之为正统派，对创建量子力学有直接贡献的玻尔、玻恩、海森堡等都属于这一派。正统派提出“波函数坍缩”⁴来描述量子力学的测量过程。测量前是单色平面波，粒子等几率地处在整个空间，一次成功的测量意味着在这一瞬间，波函数坍缩为一位置在`x_0`附近的尖峰形函数（数学上叫δ函数，δ函数仅在`x_0`取值不为0，其他地方都是0）。根据统计解释，粒子只能在`x_0`位置，自然这是一次成功的测量，因为我们得到了唯一的位置，在t=0之后，我们再做测量，也只能获得`x_0`这一确定性的结论，因为尖峰函数再坍缩也只能是尖峰函数。那么正统解释是否意味着与狭义相对论矛盾呢？或者说我们是否可利用波函数坍缩来构造一个可以携带信息的超过光速的信号呢？仔细的分析否定了这种设想，但在这里我们暂不展开讨论。

这两派意见，到底哪一派正确呢？贝尔⁵后来针对隐变量理论提出了一个不等式--贝尔不等式，如果隐变量理论成立，不等式成立；如果正统解释成立，则不等式可以不成立。但迄今为止的各种实验对隐变量理论都是不利的，或者说量子力学是完备的，波函数中包括了粒子运动的所有信息。

4.经典和量子的界限

物理学家坚信：只有一个物理。原来经典物理可以描述的物理现象，比如行星的运动和几何光学也适用于量子力学。原则上量子力学应适用于所有的物理现象，只是对这些问题的处理会比较繁琐而已，而且经过繁琐的计算我们会发现奇异的量子行为被抵消掉了，这解释了为什么我们使用“错误”的经典理论也能得到正确的结果。

讨论经典和量子的界限⁶，目的并不是给出经典物理和量子物理分别适用的界限（只有一个物理），而只是在讨论什么时候必须使用量子力学，或什么时候量子效应不可忽略。

我们可以用一个简单的计算来讨论，量子效应比较明显意味着我们必须用波函数描述粒子，意味着干涉效应比较明显。回忆公式：`\lambda = h/p`，左边是描述波动性的波长，如果波动性较明显，说明波长应比较长，比如说达到几百纳米（达到可见光波段）。这意味着等式右边：h必须越大越好，h 是普朗克常数，恰恰是个很小很小的物理量，这解释了为什么我们日常观察不到量子现象。p是粒子动量，应越小越好，但再小也有上限，宏观物体普遍存在无规则热运动，无规则热运动能量可使用E=kT来估计（即温度越高，无规则热运动越激烈，这也与我们的常识吻合）。现在`p=\sqrt(2mkT) `，k是另一个物理常数--玻尔兹曼常数，我们可讨论：

（1）m越小越好，这解释了为什么我们会在原子系统中观察到量子现象，因为电子（决定原子性质的主要因素其实是原子中电子的运动状态）足够小；
（2）另一方面T（温度）越低越好，这解释了为什么在低温条件下我们会观察到宏观量子现象，比如超导、超流和玻色凝聚等。

注释：